Question

数学问题和物理问题

下面的论证过程是否有误？若有误，进行严格的证明（必须指出论证推理中的错误之处，而不能采用举反例、推翻结果的方法）
求证：两人在笔直跑道上跑步，只要两人一直在向前笔直奔跑，原来跑在后面的人永远都超不过前面的人。
证明：设跑在前面的人、跑在后面的分别为甲、乙。设甲在某一瞬间跑道A点，则当乙跑到A点时，甲必定已跑到A点的前面，即甲仍跑在乙的前面。由于奔跑的直线是由点构成的，对直线上的任何点都和A点的情况相同，所以原来跑在后面的人永远都超不过前面的人。

Answer 1

这个属于芝诺佯谬。需要数学论证可发起会话，简单介绍一下：
二分法悖论 这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达D，它必须首先到达距离D的 二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此， 这个物体永远也到达不了D。 这些结论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。 芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动，就会有‘完 善的无限’，而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟，那么，“这是 一种不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的 ，没有逻辑可靠。 他认为：“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论，芝诺还提出了一个类似的运 动佯谬： 2－3 “飞矢不动” 在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不动 没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗？或者无限重复的静止就是 运动？中国古代也有类似的说法，如： 2－4 “飞鸟之景，未尝动也” 这是中国名家惠施的命题，与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避 的实事相冲突。 德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》，称芝诺的悖论为“ 否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实，但为什么 “不合逻辑”？因为芝诺运用了“无限”这个概念，这是一种逻辑上的假设，而现实世界 里是不可能有无限者存在的，这就出现了假设与现实的矛盾。 尼采说道：在这两个悖论里，“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果无限是决不可 能成为完善的，静止决不可能变为运动，那么，真相是箭完全没有飞动，它完全没有移位 ，没有脱离静止状态，时间并没有流逝。 换句话讲，在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中，既没有时间、空间，也没有运动。最 后，连箭本身也是一个虚象，因为它来自多样性，来自由感官唤起的非一的幻象。下面是 尼采的分析： 假定箭拥有一种存在，那么，它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的。 这是一个荒谬的观念！ 假定运动是真正的实在，那么，就不存在静止。因而，箭没有位置、没有空间。又是一个 荒谬的观点！ 假定时间是实在的，那么，它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必定由一个有 限数目的瞬间组成，其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬的观念！ 尼采得出这样的结论：我们的一切观念，只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被 当作“永恒真理”，就会陷入矛盾。如果有绝对运动，就不会有空间；如果有绝对空间， 就不会有运动；如果有绝对存在，就不会有多样性；如果有绝对的多样性，就不会有统一 性。 事实上，这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一，今天都已经得到了完美的解 决，这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时，初创微积分，但由于没有巩固的理论 基础，出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初，法国科学家以柯西为首建立了 极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为微积分 的坚定基础，运动问题也得到了合理的解释。 可以想见，在微积分和极限理论发明或被接受以前，人们很难解释这一运动佯谬。感官不 同于思维，当希腊人用概念来判决现实的时候，如果逻辑与现实发生矛盾，芝诺指责感官 为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候，直观的形式、象征或比喻都无济于事。尼采 的分析虽然详细、精辟，但他无法把它们综合起来。

Answer 2

错误，没有给出速度约束条件。
如果乙比甲快则乙最终能超过甲

Answer 3

时间，速度