Question

关于反常积分的瑕点问题

举例说：f(x)=1/x,求该函数在区间【-1,1】内的积分。答：可以明显看出为0啊，因为对称性嘛。
不过高数书(同济五254页)上黑字部分的意思是：这是一个无界函数的反常积分，x=0是函数的瑕点，此为暇积分，∵∫1/xdx在(0,1)积分时，=ln1-ln0+，而ln0+=正无穷，故此反常积分发散！故在（-1,1）的积分不存在，或者叫积分发散。 是不是如果不考虑0这个瑕点，就会得出开始所说的错误的结果啊？
求解释。

Answer 1

书说的是对的，你的理解有问题哦~~

你认为这样有对称性的积分值为0，这有一个前提：积分是存在的(即收敛的)。而这个积分是不收敛的瑕积分，所以不存在(不收敛)。计算积分值的前提是积分存在！

直观上怎么理解呢？你说的“对称”的意思是(-1,0)与(0,1)两部分的积分正负抵消，这固然有道理，但注意这两部分每一部分的积分都是发散的！相当于a-a=0总是对的，但+∞-+∞等于0吗？不能这样说吧……

另外，flytian0103的解释是错误的。瑕积分这个概念本身就是为了处理函数在某点无定义的情形，所以不能仅从函数无定义断言瑕积分发散。比如f(x)=1/根号x, 它在0点也没有定义，但它在-1~0和0~1的瑕积分都是收敛的！

Answer 2

谢谢娄下那位