Question

请哪位学者帮帮忙！数学题！

某种商品的定价为每件60元,在不征税时每年大约销售100万件,在征税时每销售100元征税P元(即税率为 P/100),于是每年销售量减少5P万件.
(1)将每年对该商品征收的税金y(万元),表示成P的函数,并指出该函数的定义域;
(2)若每年对该商品征收的税金不少于252万元,则税率 P/100应该怎样确定?
(3)在所征收的税金不少于252万元的前提下,当P为何值时商家税后销售收入最大?

Answer 1

1、y=60(100-5p)p/100=60p-3p^2
因y>=0
所以o<=p<=20，故定义域为[0,20]
2、y=60p-3p^2>=252
化简：p^2-20p+84<=0
解得 6<=p<=14
则税率 0.06 <= (p/100) <= 0.14
3、销售收入为 60(100-5p)-y
即 化简后得 3p^2-360p+6000
=3[ (p-60)^2-1600 ]
p在[6,14]中取值，因为取值范围在对称轴的一侧
当p取6时，3[ (p-60)^2-1600 ]的值最大。

Answer 2

（1）y＝(100－5P)×60/100×P=－3P²+60P (0≤P≤20)
（2）按题意，即y≥252，将y代入并整理得：P²－20P＋84≤0 解得6≤P≤14，则0.06≤P/100≤0.14
（3）依题意，即求y的最小值，也就是此条件下P的最小值。从（2）中可以直接得到P＝6，此时商家税后销售收入最大。