Question

在矩形ABCD中,AB=2BC,E为CD上一点,若∠EBC=15°,求证AE=AB

Answer 1

解答：EC/BC=tg∠EBC=tg15=tg(30/2)=(1-cos30)/sin30=2-√3
EC=(2-√3)BC
所以：DE=DC-EC=2BC-(2-√3)BC=√3BC
DE/BC=√3
Ctg∠AED=DE/BC=√3
所以：∠AED=30
因∠AED+∠AEB+∠BEC=180 而：∠AED=30 ∠BEC=90-15=75
所以： ∠AEB=75
∠ABE=90-∠EBC=75
∠ABE=∠AEB
所以：AE=AB

Answer 2

利用半角公式tan(α/2)=sinα/(1+cosα)
tan15°=sin30°/(1+cos30°)=(1/2)/(1+√3/2)=1/(2+√3)
CE/BC=tan∠EBC=tan15°=1/(2+√3)
CE=BC/(2+√3)
CD=AB=2BC DE=CD-CE=2BC-BC/(2+√3)=(3+2√3)BC/(2+√3)=√3BC
AD=BC
利用勾股定理 AE=√(AD^2+DE^2)=2BC=AB

Answer 3

设AB=2,BC=1,则CE=BC×tan15=2-√3，DE=DC-CE=√3,因为AD/DE=tan30,所以角ADE=30,角AEB=75=角ABE,所以AB=AE