Question

已知a>0 b>0 a+b=1 。求(a+1/a)^2+(b+1/b)^2的最小值

(a+1/a)^2+(b+1/b)^2≥0.5*(1+1/ab)^2 有上面可以知道1/ab≥4 我设(a+1/a)^2+(b+1/b)^2为y1 0.5*(1+1/ab)^2为y2 y1≥y2 不是就应该是y1大于等于y2的最大值吗 我的理解是不是有错误 谁可以解析下呢
为什么要取ab=1/4进去啊

Answer 1

设x=ab,则0<x<=1/4,
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=a^2+2+1/没烂a^2+b^2+2+1/塌陵b^2
=[(a+b)^2-2ab]*[1+1/(a^2*b^2)]+4
=(1-2x)(1+1/x^2)+4
=-2x+5-2/x+1/x^2,记为f(x),
f'(x)=-2+2/x^2-2/x^3=(-2/x^3)(x^3-x+1)<0,
∴团察戚f(x)↓，f(x)|min=f(1/4)=12.5.