Question

在数列{an}中,已知a1=p>0,且a(n+1)xan=n^2+3n+2,n∈n*, 求数列{an}的前n项和Sn.

要详细过程

Answer 1

n^2+3n+2=(n+1)(n+2)
a2*a1=2*3
a3*a2=3*4
………
an*a(n-1)=n*(n+1)
这样就想到用叠乘，但这里显然要复杂一点
要除了上面的式子，再乘再上面的式子，循环到第一个式子，不过也可以换个角度，就是把数字都约掉，只留下首项和末项
若n为奇数
an=(n+1)p/2
若n为偶数
an=2(n+1)/p
当n为奇数
Sn=(3+n)(n-1)/2p+(3+n)(n+1)p/8
当n为偶数时
Sn=(2+n)np/8+(n+4)n/2p

Answer 2

a(n+1)xan=n^2+3n+2,=(n+1)(n+2),a2=6/p,a3=2p,
a(n+2)*a(n+1)=(n+2)(n+3), 相比得：a(n+2)/an=(n+3)/(n+1)
a(n+2)/(n+3)=an/(n+1)=……=a1/2(n为奇数）或a2/3(n为偶数）
所以a(2k-1)/2k=a1/2=p/2;a(2k-1）=kp;
a2k/(2k+1)=a2/3=2/p,a(2k)=2（2k+1)/p
S2k=(a1+a3+……+a(2k-1）】+【a2+a4+……+a2k]=p(1+2+……+k)+2*(3+5+……+（2k+1))/p
=p(1+k)*k/2+(2k+4)k/p=pn(n+2)/8+n(n+4)/2p,
S(2k-1）=S2k-a2k=p(1+2+……+k)+2*(3+5+……+（2k-1))/p=p(1+k)*k/2+(2k+2)k/p

Answer 3

a(n+1)*an=n^2+3n+2=(n+2)*(n+1) -------- (1)
a(n+2)*a(n+1)=(n+3)*(n+1) ----------------(2)
（2）除（1），得：a(n+2)/an= (n+3)/(n+1) ---- (3)
当n为奇数时，a3/a1= 4/2, a5/a3=6/4, a7/a5= 8/6, ---- , a(n+2)/an= (n+3)/(n+1)
利用累积法得：a(n+2)/a1 = (n+3)/2 即：a(n+2)= (n+3)*p/2
所以当n为奇数时，an=(n+1)*p/2.
同样方法，当n为偶数时，an= 2*(n+1)/p

Answer 4

a(n+1)xan=n^2+3n+2=(n+1)*(n+2),因为都为正整数，那么an=n+1，可得a1=2
sn=(n+3)n/2