如果你是高一：
设x1>x2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(1/3)*(1/x1-1/x2)=(x1-x2)*(1-1/(3x1x2))
1°当x1>x2>(√3)/3
那么x1*x2>1/3
∴3x1*x2>1
∴1/(3x1*x2)<1
∴1-1/(3x1x2)>0
∵x1>x2
∴x1-x2>0
∴(x1-x2)*(1-1/(3x1x2))>0
∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2)
由x1,x2的任意性得:当x>(√3)/3时f(x)为增函数
2°当(√3)/3>x1>x2>0
那么x1*x2<1/3
∴3x1x2<1
∴1/(3x1x2)>1
∴1-1/(3x1x2)<0
∴(x1-x2)*(1-1/(3x1x2))<0
∴f(x1)<f(x2)
由x1,x2的任意性得:当0<x<(√3)/3时f(x)为减函数
3°当-(√3)/3<x2<x1<0
那么x1*x2<1/3
∴f(x1)<f(x2)
由x1,x2的任意性得:当-(√3)/3<x1<x2<0时f(x)为减函数
4°当-(√3)/3>x1>x2
那么x1*x2>1/3
∴f(x1)>f(x2)
由x1,x2的任意性得:当x<-(√3)/3时f(x)为增函数
而x=0很明显为f(x)的渐近线
∴可以画出函数图像大概为:
那么很明显函数的值域就是(-∞,f((-√3)/3)]∪[f((√3)/3)),+∞)
也就是(-∞,-2-2*(√3)/3]∪[-2+2*(√3)/3,+∞)。
高一以后的办法就给两种吧
(1)
f`(x)=1-3/x平方
f`(x)>0→1>3/x平方→x平方>1/3→x>(√3)/3或x<-(√3)/3
∴f(x)的单调增区间为(-∞,-(√3)/3),((√3)/3,+∞)
f(x)的单调减区间为(-(√3)/3,0),(0,(√3)/3)
∴f(x)值域为(-∞,-2-2*(√3)/3]∪[-2+2*(√3)/3,+∞)。
(2)
当x>0
x+1/(3x)-2≥2*(√3)/3-2
∴当x>0
f(x)≥2*(√3)/3-2，当且仅当x=(√3)/3成立
当x<0
-x+(1/(-3x))≥2*(√3)/3,当且仅当x=-(√3)/3成立
∴x+1/(3x)-2≤-2*(√3)/3-2
∴当x<0
f(x)≤-2*(√3)/3-2
∴f(x)值域为(-∞,-2-2*(√3)/3]∪[-2+2*(√3)/3,+∞)。
