Question

设a∈R,函数f(x)=ax3-3x2. (Ⅰ)若x=2是函数y=f(x)的极值点,求a的值; 第二问写在下面

设a∈R,函数f(x)=ax³-3x². (Ⅰ)若x=2是函数y=f(x)的极值点,求a的值; (Ⅱ)若函数g(x)=f(x)+f′(x),x∈[0,3],在x=0处取得最大值,求a的取值范围.
（第二问分类讨论，如第一种情况当a>1时，第二种当a=0时。。。。）

Answer 1

第一问简单，求导后将x=2带入求得a=1。但要检验a=1时导函数在x=2的两侧是否异号。
第二问分类讨论很麻烦，不如利用分离参量，即将a分离出来，用x表示a，以x范围求a范围。
①由题意，g(x)=ax^3+3(a-1)x^2-6x .且g(x)<g(0)在x∈[0,3]上恒成立。因为g(0)=0
所以g(x)<0在x∈[0,3]上恒成立。即ax^3+3(a-1)x^2-6x<0在x∈[0,3]上恒成立。
两边同时消去一个x,因为x>0,所以得ax^2+3ax-3x-6<0在x∈[0,3]上恒成立。
②（提公因式，分离参量）即a(x^2+3x)<3x+6.因为x>0,所以x^2+3x>0,所以a<3(x+2)／(x^2+3x).
3(x+2)／(x^2+3x)=3(x+2)／[x(x+3)].设t=x+2,则t∈[2,5],x=t-2,x+3=t+1.所以3(x+2)／[x(x+3)]即3t／[(t-2)(t+1)].
即3t／(t^2-t-2).t≠0,上下同除t,得3／(t-2／t -1).
③设h(t)=t-2／t -1,h'(t)=1+2／(t^2),h'(t)>0恒成立,即h(t)在t∈[2,5]上递增。h(2)=2，h(5)=18／5，所以h(t)∈[2,18／5].所以[3／h(t)]∈[5／6,3／2].因为a<[3／h(t)]恒成立,所以a<5／6

若必用分类讨论，则先讨论a是否=0，=0时易知成立，≠0时g(x)即2次函数，看△±，讨论两根大小，以及是否∈[0,3],由此判断单调性，找到[0,3]内的极值，使此极值小于g(0)，求a.

希望能对您有所帮助！加油！

Answer 2

(Ⅰ)f’(x)=3ax2-6x，
f’(2)=3a·22-6·2=0，a=1/2.
待续

追问

a=1 ...关键是第二问

追答

(Ⅰ)f’(x)=3ax2-6x，
f’(2)=3a·22-6·2=0，a=1/2.
(Ⅱ) g(x)=f(x)+f’(x)= ax³-3x²+3ax2-6x,
g’(x)= 3ax2+6(a-1)x-6=3(ax2+2(a-1)x-2),
当a=0时，g’(x)=-6x-60,
三次函数g(x)在R上总有两个极值点
x1=(1-a-√(a^2+1))/a和x2=(1-a+√(a^2+1))/a.
①若a>0时,要使函数g(x)在x=0处取得最大值，只要
x1≤0 且f(0)≥f(3),
解得00,极小值点x2<0,
要使函数g(x)在x=0处取得最大值，不可能。
综上所述
a的取值范围是[0,5/6]
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