Question

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC上一动点，过点P作PF⊥DC于点F.

正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC上一动点，过点P作PF⊥DC于点F.如图1，当点P与点O重合时，显然有DF=CF

如图2，若点P在线段AO上（不与A，O重合），PE⊥PB交CD于点E。①求证：DF=EF②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明你的结论

Answer 1

连接PD
① ∵AB=AD AP=AP ∠BAP=∠DAP=45°∴△APB≌△APD
∴∠ABP=∠ADP ∠PBC=∠PDF
∵PE⊥PB ∴在四边形BCEP中∠PBC+∠PEC=180°
∵∠PEF+∠PEC=180° ∴∠PEF=∠PBC=∠PDF
∵PF⊥CD ∴DF=EF(等腰三角形底边垂线即底边平分线)
② ∵∠PAD=45° ∴PA=√2DF
同理 PC=√2CF=√2(CE+EF)
∴PC-PA=√2(CE+EF-DF)
∵DE=EF ∴PC-PA=√2CE