Question

题目如图所示

Answer 1

证: (1) 因为 R^(3×3) 是R上的线性空间, V是R^(3×3)的子集,
故只需证V对加法与数乘封闭.
设 A,B ∈V, k∈R
a1 a2 a3 b1 b2 b3
A= 0 a1 a2 B= 0 b1 b2
0 0 a1 0 0 b1

a1+b1 a2+b2 a3+b3
则 A+B = 0 a1+b1 a2+b2 ∈V
0 0 a1+b1

ka1 ka2 ka3
kA = 0 ka1 ka2 ∈V
0 0 ka1
所以, V关于矩阵的加法和数乘构成R上的线性空间

(2) 由定义(A,B)=a1b1+a2b2+a3b3
所以 ① (B,A)=b1a1+b2a2+b3a3 = a1b1+a2b2+a3b3 = (A,B).
设
c1 c2 c3
C = 0 c1 c2
0 0 c1

②(A+B,C) = (a1+b1)c1+(a2+b2)c2+(a3+b3)c3
= (a1c1+a2c2+a3c3) + (b1c1+b2c2+b3c3)
= (A,C) + (B,C)
③(kA,B) = ka1b1+ka2b2+ka3b3 = k(a1b1+a2b2+a3b3)=k(A,B)

④(A,A)=a1^2+a2^2+a3^2 ≥ 0
且 (A,A) = 0 <=> a1=a2=a3=0 <=> A=0.

所以V是欧式空间#

Answer 2

看不清

Answer 3

看不清！