Question

设关于x的方程2x^2－ax－2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)= (4x-a)/(x^2+1)

（1）求f（阿尔法），f（β）及f（α)×f(β)的值；
（2）证明f（x）是[α，β]上的增函数。

Answer 1

解：由2x^2－ax－2=4x^2－ax－2x^2－2=x(4x－a)-2(x^2+1)=0可得f(x)= (4x-a)/(x^2+1)=2/x.
(1)而α、β为关于x的方程2x^2－ax－2=0的两根(α＜β),则α=【a+√(a^2+16)】/4;β=【a-√(a^2+16)】/4;α+β=a/2；α*β=-1.
所以，f（α）=8/【a+√(a^2+16)】；f(β)=8/【a-√(a^2+16)】;f(α)×f(β)=2(α+β)/α*β=-a.
(2)因f(x)=2/x是系数为2的反比例函数，且α＜β，所以f（x）是[α，β]上的增函数。
【α-β<0，f（α）－f(β)=2（β-α）/α*β=2(α-β)<0，即f（α）<f(β)，所以f（x）是[α，β]上的增函数。】