Question

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF． （1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AF

如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF． （1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．

Answer 1

解：（1）证明：∵在△ABC和△ADC中， ，∴△ABC≌△ADC（SSS）。 ∴∠BAC=∠DAC。 ∵在△ABF和△ADF中， ，∴△ABF≌△ADF（SAS）。 ∴∠AFD=∠AFB。 ∵∠AFB=∠AFE，∴∠AFD=∠CFE。 （2）证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD。 又∵∠BAC=∠DAC，∴∠CAD=∠ACD。∴AD=CD。 ∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD。∴四边形ABCD是菱形。 （3）当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD，理由如下： ∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF。 ∵在△BCF和△DCF中， ，∴△BCF≌△DCF（SAS）。 ∴∠CBF=∠CDF。 ∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°。∴∠EFD=∠BCD。

（1）由SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BAC=∠DAC，再证明△ABF≌△ADF，可得∠AFD=∠AFB，进而得到∠AFD=∠CFE。 （2）首先证明∠CAD=∠ACD，再根据等角对等边可得AD=CD，再由条件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四边形ABCD是菱形。 （3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，从而得到∠EFD=∠BCD。