Question

已知在平面直角坐标系xOy中，圆心在第二象限、半径为2 2 的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．

已知在平面直角坐标系xOy中，圆心在第二象限、半径为2 2 的圆C与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆 x 2 a 2 + y 2 9 =1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使A到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设圆心坐标为（m，n）（m＜0，n＞0）， 则该圆的方程为（x-m） 2 +（y-n） 2 =8已知该圆与直线y=x相切， 那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则 |m-n| 2 =2 2 即|m-n|=4…① 又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入得m 2 +n 2 =8…② 联立方程①和②组成方程组解得 m=-2 n=2 故圆的方程为（x+2） 2 +（y-2） 2 =8； （2）∵椭圆 x 2 a 2 + y 2 9 =1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． ∴2a=10，得a=5，a 2 =25， 由此可得，椭圆的方程为 x 2 25 + y 2 9 =1 其焦距c= 25-9 =4，右焦点为（4，0），那么|OF|=4． 将两圆的方程联列，得 (x-4 ) 2 + y 2 =16 (x+2 ) 2 +(y-2 ) 2 =8 ，解之得x= 4 5 ，y= 12 5 ． 即存在异于原点的点Q（ 4 5 ， 12 5 ）， 使得该点到右焦点F的距离等于|OF|的长．