数学2011中考预测题
如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ABC和△BCE,都是等边三角形,AB、CD、DA的中点分别是P、Q、M、N,判断四边形PQMN是怎样的四边形,并证明你的结论...
如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点,△ABC和△BCE,都是等边三角形,AB、CD、DA的中点分别是P、Q、M、N,判断四边形PQMN是怎样的四边形,并证明你的结论。
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(1)证明:∵△ADE和△BCE都是等边三角形
∴AE=DE,CD=BE,∠AED=∠BE,
∴∠AED+∠DEC=∠BEC+∠DEC
即∠AEC=∠DEB
∴△ACE≌△DBE(SAS).(3分)
(2)解:①在图中上画出四边形(5分)
②四边形PQMN为菱形(6分)
证明:∵P、Q分别是AB与BC的中点
∴PQ平行且等于 12AC
同理MN平行且等于 12AC,PN平行且等于 12BD
∴PQ平行且等于MN
∴四边形PQMN是平行四边形(7分)
由(1)△ACE≌△DBE得AC=BD
∴PQ=PN
∴四边形PQMN是菱形.(8分)
③如果四边形ABCD的面积为a,则四边形PQMN的面积是 12a(9分)
∵PQ平行且等于 12AC,∴S△PBQ= 14S△ABC
同理S△DMN= 14S△ACD
∴S△DMN+S△PBQ= 14S四边形ABCD= 14a
同理S△APN+S△CQM= 14a
∴四边形PQMN的面积为S四边形PQMN=a- 14a- 14a= 12a.(
∴AE=DE,CD=BE,∠AED=∠BE,
∴∠AED+∠DEC=∠BEC+∠DEC
即∠AEC=∠DEB
∴△ACE≌△DBE(SAS).(3分)
(2)解:①在图中上画出四边形(5分)
②四边形PQMN为菱形(6分)
证明:∵P、Q分别是AB与BC的中点
∴PQ平行且等于 12AC
同理MN平行且等于 12AC,PN平行且等于 12BD
∴PQ平行且等于MN
∴四边形PQMN是平行四边形(7分)
由(1)△ACE≌△DBE得AC=BD
∴PQ=PN
∴四边形PQMN是菱形.(8分)
③如果四边形ABCD的面积为a,则四边形PQMN的面积是 12a(9分)
∵PQ平行且等于 12AC,∴S△PBQ= 14S△ABC
同理S△DMN= 14S△ACD
∴S△DMN+S△PBQ= 14S四边形ABCD= 14a
同理S△APN+S△CQM= 14a
∴四边形PQMN的面积为S四边形PQMN=a- 14a- 14a= 12a.(
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