Question

已知函数f（x）=-x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域（

已知函数f（x）=-x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为112，则a的值为（　　）A．1B．2C．-1D．-2

Answer 1

∵函数f（x）=-x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，
∴函数的导数f′（x）=-3x²+2ax+b，且f′（0）=b=0，
则f（x）=-x³+ax²，
∵x轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为

1

12

，
∴由f（x）=-x³+ax²=0解得x=0或x=a，由图象可知a＜0，
则根据积分的几何意义可得-

∫

0 a

(?x3+ax2)dx=-（?

1

4

x4+

1

3

ax3）|

0 a

=

1

12

a4＝

1

12

，
即a⁴=1，解得a=-1或a=1（舍去），
故选：C