Question

设函数f（x）=x2-2x+1+alnx有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，则：（1）求实数a的范围；（Ⅱ）求f（x2）的范

设函数f（x）=x2-2x+1+alnx有两个极值点x1、x2，且x1＜x2，则：（1）求实数a的范围；（Ⅱ）求f（x2）的范围．

Answer 1

（1）∵f′（x）=2x-2+

a

x

=

2x2?2x+a

x

，（x＞0）
又函数f（x）=x²-2x+1+alnx有两个极值点x₁、x₂，
∴f′（x）=0有两个不同的根，
∴方程2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a＞0，即a＜

1

2

，
∵x₁+x₂=1，x₁?x₂=

a

2

＞0，
∴a＞0，
∴a的取值范围是（0，

1

2

）．
（2）∵0＜x₁＜x₂，x₁+x₂=1，
∴

1

2

＜x₂＜1，a=2x₂-2x22，
∴f（x₂）=x22-2x₂+1+（2x₂-2x22）lnx₂，
令g（t）=t²-2t+1+（2t-2t²）lnt，其中

1

2

＜t＜1，
则g′（t）=2（1-2t）lnt，
当t∈（

1

2

，1）时，g′（t）＞0，
∴g（t）在（

1

2

，1）上是增函数，
∴g（t）＞g（

1

2

）=

1?2ln2

4

，
∴g（t）＜g（1）=0，
∴f（x₂）的取值范围是：（

1?2ln2

4

，0）．