Question

已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E， BC = BD ，⊙O的切线BF与弦AD的延

已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E， BC = BD ，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．（1）求证：CD ∥ BF．（2）连接BC，若⊙O的半径为4，cos∠BCD= 3 4 ，求线段AD、CD的长．

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Answer 1

（1）证明：∵直径AB平分 CD ， ∴AB⊥CD． ∵BF与⊙O相切，AB是⊙O的直径， ∴AB⊥BF． ∴CD ∥ BF． （2）连接BD，BC． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． 在Rt△ADB中， ∵cos∠BAF=cos∠BCD= 3 4 ，AB=4×2=8． ∴AD=AB?cos∠BAF=8× 3 4 =6． ∵AB⊥CD于E， 在Rt△AED中，cos∠BAF=cos∠BCD= 3 4 ，sin∠BAF= 7 4 ． ∴DE=AD?sin∠BAF=6× 7 4 = 3 2 7 ． ∵直径AB平分 CD ， ∴CD=2DE=3 7 ．