Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是 AD 的中点，连接BD并延长交EC的

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是 AD 的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q．（1）求证：P是△ACQ的外心；（2）若 tan∠ABC= 3 4 ，CF=8 ，求CQ的长；（3）求证：（FP+PQ） 2 =FP?FG．

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Answer 1

（1）证明：∵C是 AD 的中点，∴ AC = CD ， ∴∠CAD=∠ABC ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°． ∴∠CAD+∠AQC=90° 又CE⊥AB，∴∠ABC+∠PCQ=90° ∴∠AQC=∠PCQ ∴在△PCQ中，PC=PQ， ∵CE⊥直径AB，∴ AC = AE ∴ AE = CD ∴∠CAD=∠ACE． ∴在△APC中，有PA=PC， ∴PA=PC=PQ ∴P是△ACQ的外心． （2）∵CE⊥直径AB于F， ∴在Rt△BCF中，由tan∠ABC= CF BF = 3 4 ，CF=8， 得 BF= 32 3 ． ∴由勾股定理，得BC= CF 2 +BF 2 = 40 3 ∵AB是⊙O的直径， ∴在Rt△ACB中，由tan∠ABC= AC BC = 3 4 ，BC= 40 3 ， ∴AC=10， 易知Rt△ACB ∽ Rt△QCA， ∴AC 2 =CQ?BC， ∴CQ= AC 2 BC = 15 2 ； （3）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90° ∴∠DAB+∠ABD=90° 又CF⊥AB，∴∠ABG+∠G=90° ∴∠DAB=∠G； ∴Rt△AFP ∽ Rt△GFB， ∴ AF FG = FP BF ，即AF?BF=FP?FG 易知Rt△ACF ∽ Rt△CBF， ∴CF 2 =AF?BF（或由射影定理得） ∴FC 2 =PF?FG， 由（1），知PC=PQ，∴FP+PQ=FP+PC=FC ∴（FP+PQ） 2 =FP?FG．