Question

大学概率论的简单题目，高分！在线等，急！

设e的分布密度为
p(x)= | 2x , 0<x<1
| 0, 其余地方

（1）求2e的分布密度
(2) -e+1的分布密度
(3) e^2的分布密度

Answer 1

(1)当0<x<1时，F2e(x)=P（2e<=x）=P(e<=x/2)=Fe(x/2)，设2e概率密度为f(x)所以此时2e概率密度f(x)=p(x/2)*(1/2)=(1/2)x 就是二分之一爱克斯。所以一问答案为
f(x)= | (1/2)x , 0<x<1
| 0, 其余地方
(2)当0<x<1时，F-e+1(x)=P（-e+1<=x）=P(-e<=x-1)=P(e>=1-x)=1-P(e<=1-x)=1-Fe(1-x)，设
-e+1概率密度为f(x)所以此时-e+1概率密度f(x)=-p(1-x)*(-1)=p(1-x)=2-2x 所以二问答案为
f(x)= | 2-2x , 0<x<1
| 0, 其余地方
（3）当0<x<1时，Fe^2(x)=P（e^2<=x）=P(-(x^(1/2))<=e<=x^(1/2))=Fe(x^(1/2))-0，设
e^2概率密度为f(x)所以此时e^2概率密度f(x)=p(x^(1/2))*(1/2)*(x^(-1/2))=1 所以三问答案
f(x)= | 1, 0<x<1
| 0, 其余地方
刚喝了两瓶啤酒 自己参考下

追问

设2e概率密度为f(x)所以此时2e概率密度f(x)=p(x/2)*(1/2)=(1/2)x 就是二分之一爱克斯
我到这一步不大明白，p(x/2)*(1/2)怎么来的啊？

追答

对随机变量的分布函数F（x/2）求导，就是说p(x)的原函数是F（x）。

追问

好像明白了·········

追答

哦，我简化了一步。因为P(-(x^(1/2))<=e<=x^(1/2))=Fe(x^(1/2))-Fe(-(x^(1/2));第二项括号里面的数肯定小于0，小于零密度不是0吗，所以这项就为零了。 对Fe(x^(1/2))求导的结果你可能搞错了，求导大体步骤F变成p函数，括号里不变，然后对括号里接着求导。x^(1/2)求导就是(1/2)*(x^(-1/2)).。。。x^(1/2)这个是爱克斯的二分之一次方吧？

追问

请移步到http://zhidao.baidu.com/question/264631849.html 接分

Answer 2

楼上醉了~
第（1）问f（x）在实数域上定积分不等于1，这就错了，区间要扩到 0<x<2，其他没什么不对的
还有解释不够清晰，解法不够完整容易出错。

保险解法：
先对X求分布函数：
P(X<=x)（用大写X代替e我习惯）=FX(x)=
|0,x<0
|x^2,0<x<1
|1,x>1

第一问记Y=2X，那么当0<y/2<1即0<y<2时，先求分布函数：FY(y)=P（Y<=y）=P（2X<=y）=P（X<=y/2）=FX(y/2)=(y^2)/4,
再上式最左、最右对y求导得概率密度函数的一部分：fY(y)=1/2*y (0<y<2)，对y的其他取值检验一下就得到楼上的结果

第二题没什么不对的

第三题记Y=X^2,那么FY(y)=P（Y<=y）=P（X^2<=y）=P（-根号y<=X<=根号y）=FX(根号y)-FX(-根号y)=(根号y)^2-0=y,(0<y<1)（注意x大于零时FX(x)值为x^2,x小于0时则为0）
那么有楼上的结果

P.S:记住，解这类题目时fX(x)是不能直接推到fY(y)的，像楼上那么有经验也有可能在定义域上出错，只有依靠P（Y<=y）=P（2X<=y）=P（X<=y/2）这样的等价关系去推导才可靠