Question

已知x1,x2 是关于x的方程(x–2)(x–m)=(p–2)(p–m)的两个实数根.

已知x1，x2 是关于x的方程（x–2）（x–m）=（p–2）（p–m）的两个实数根．
（1）求x1，x2 的值；
（2）若x1，x2 是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．

Answer 1

（1）x^2-(m+2)x+2m=p^2-(m+2)p+2m
x^2-p^2=(m+2)x-(m+2)p
(x-p)(x+p)=(m+2)(x-p) (a)
当x=p时，等式(a)成立，即x1=p。
当x不等于p时，等式(a)两边同除以(x-p),得x=m+2-p,即x2=m+2-p.
(2)当x1和x2为直角三角形两直角边时，因为x1=p，故可以确定p>0时，才能组成三角形。而另一边也应满足x2=m+2-p>0即m>p-2。
由此可知当p>0,m>-2时，即能组成直角三角形。
该三角形面积为:
S=(1/2)*x1*x2=p(m+2-p)/2
理论上，这个三角形面积可以无穷大...

Answer 2

1）（x–2）（x–m）=（p–2）（p–m）
x^2-2x-mx+2m=p^2-2p-mp+2m
x^2-(2+m)x=p^2-(2+m)p
x^2-p^2=(2+m)x-(2+m)p
(x+p)(x-p)=(2+m)(x-p)
x+p=2+m
x=2+m-p
∴x1=x2 =2+m-p
我就会这些，还不知道对不对。

Answer 3

解:（1） 方程（x–2）（x–m）=（p–2）（p–m）化简得 x^2-(2+m)x=p^2-(2+m)p
x^2-p^2+(2+m)p-(2+m)x=0 (x-p)(x+p-2-m)=0 解得x1=p，x2=2+m-p
（2）s=1/2(x1x2 )=1/2(p+2+m-p)<=(2+m)^2/8