Question

微积分。为什么有时候积分一个函数，后面的C要写成lnC,有人说这样在某些计算中更方便，能否举个例子

微积分。为什么有时候积分一个函数，后面的C要写成lnC,有人说这样在某些计算中更方便，能否举个例子？
在这题里面，把C写成lnC得到的函数，和C得到的函数不同，为什么？

Answer 1

一般是在求微分方程时，为了让最后的通解的形式简单，有时候会把C写成lnC或者1/2C，C^2等等。
比如微分方程y'=2xy，分离变量为dy/dy=2xdx，两边积分，lny=x^2+lnC，消去对数运算得通解y=Ce^(x^2)，C为任意实数。这里之所以把C写成lnC，是因为y出现在对数运算里，且没有加绝对值。所以最后要消去对数运算，故此写成lnC。如果最后不消去对数运算，对数要加绝对值，通解写成ln|y|=x^2+C也可。

若写成ln|y|=x^2+C，消去对数运算，得y=±e^C*e^(x^2)。把±e^C看作新的任意常数，得y=Ce^(x^2)，C可正可负。另外当C=0时，y=0也是解。所以最后的通解是y=Ce^(x^2)，C任意。与第一种解法的结果一样，但过程稍显繁琐。

你举的例子并不需要刻意把C写成lnC，lnC与其它两个函数又不需要合并，只是一个孤零零的常数，C与lnC又有何区别呢，有点多此一举。

Answer 2

举例：
lnx+C=lnxe^C
lnx+lnC=lnCx
显然，后者更适合书写方便。

不过本质上没有差异，得到的值都是任意常数，不过需要注意的是：
lnC中的C定义域应该是(0,+∞)

Answer 3

Answer 4

追答

这是个最简单的例子