Question

【高分】两道高中数列数学题

1.数列的通项公式为an=(3x-1)^n，若{an}的极限存在，则实数x的取值范围？
2.已知Tn是数列{4/[(n+3)(n+4)]}的前n项的和，若2Tn<a*(n+5)对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围。
需要一些过程与原理 谢谢

Answer 1

解：(1)因为{an}的极限存在

所以：|3x-1|<=1且3x-1不等于-1 ,解不等式得： 0<x<=2/3
|3x-1|<1，则{an}的极限=0；3x-1=1，{an}的极限=1，3x-1<-1，{an}的极限不存在； 3x-1>1，{an}的极限无穷大

（2）Tn=4/(4*5)+4/(5*6)+4/(6*7)+……+4/(n+2)(n+3)+4/(n+3)(n+4)
=4{ (1/4-1/5)+(1/5-1/6)+（1/6-1/7）+…+1/(n+2)-1/(n+3)+1/(n=3)-1/(n+4)}(列项相消)
=4（1/4-1/(n+4)）
=1-4/(n+4)
所以：原不等式可化为;2{1-4/(n+4)}<a*(n+5);

因为n+5>0，

所以：不等式可化为a>2n/(n+5)(n+4)

令Cn=2n/(n+5)(n+4)

因为C（n+1)-Cn=2n/(n+6)(n+5)-2n/(n+5)(n+4)
=（8-2n）/ (n+4)(n+5)(n+6)

当8-2n>=0时，即 n<=4 时，数列 Cn 为单调递增数列 a>=C4=1/9

当8-2n<=0时，即 n>=4 时，数列 Cn 为单调递减数列 a<=C4=1/9

综上所述：a=1/9

谢谢，你很好学，不懂可以问我

Answer 2

1.若此极限存在,极限只可能是0
3x-1<1,x<2/3,
2.已知Tn是数列{4/[(n+3)(n+4)]}的前n项的和，
an=4×[1/(n+3)-1/(n+4)],所以 Tn=1—4/（n+4）
带入
2n/(n+4)(n+5)<a
解得
可以看出当n=1时，1/15<a，为答案

Answer 3

（1）若存在极限 则-1<3x-1≦1 得 0<x≦2/3
(2)不妨设an=4(1/(n+3)-1/(n+4)) 则Tn=1-4/(n+4) 即原不等式可化为 (2/(n+5))(1-4/(n+4) )<a
即2n/(n+5)(n+4)<a 即 2/(n+9+20/n)<a

Answer 4

1.把3x－1看作整体知若上式有极限则－1<3x－1<=1，即0<x<=2/3。
2.首先an=4/(n＋3)－4/(n＋4)
Tn=4/(1＋3)－4/(1＋4)＋4/(2＋3)－4/(2＋4)＋……+4/(n－1＋3)－4/(n－1＋4)＋4/(n＋3)－4/(n＋4)=1－4/(n＋4)
2Tn<a*(n＋5)；即a>2Tn/(n＋5)=2n/[(n＋5)(n＋4)]当n=1时式子右边取最大值1/15。即a只需大于右式最大值，即a>1/15为所求范围

Answer 5

1.若此极限存在，3x-1<1,极限只可能是0
第二个我就懒得想了

Answer 6

1、{an}的极限存在，则|3x-1|<=1且3x-1不等于-1，-1<=3x-1<=1，0<=x<=2/3
理由：|3x-1|<1，则{an}的极限=0；3x-1=1，{an}的极限=1，3x-1<-1，{an}的极限不存在；3x-1>1，{an}的极限无穷大。