Question

高中数学排列组合问题

1、四个不同的小球，另有标号1、2、3、4的四个盒子，按下列要求写出不同种类有多少
（1）四个小球放入四个盒子，恰有两个空盒。
（2）对四个小球编号1、2、3、4，1号球不放在1号盒里。

2、某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众前来就座，若他们每两人都不能相邻且要求每人左右至多只有两个空位，那么不同的做法种数共有多少种？

3、甲乙两人从4门课程中各选修2门
（1）甲乙所选的课程中恰有1门相同的选法
（2）甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法

重在思路的解析，回答好我会再加分，谢谢。

Answer 1

1、（1）因为恰有两个空盒，可以首先选出两个空盒，C（4选2），共六种组合；再考虑将四个不同小球往另外2个盒里放，因为两个盒子里都得有球，分法有1、3，2、2，这就涉及到哪个盒中放几个，故先在两个盒中选一个，C（2选1），再将球放入其中，放法有C(4选1)+C(4选2)+C(4选3)共4+6+4=14种；这个盒子放完了，另一个盒中也就确定了。则此题共有
C（4选2）*C（2选1）*[C(4选1)+C(4选2)+C(4选3)]=6*2*14=168种方法。
（2）因为盒中可以不放球，也可以放多个球，故从小球出发考虑。对1号球，可以放在2、3、4号盒子里，有三种放法；对2、3、4号小球，放在哪个盒子里都可以，每个都有4种放法。故此题共有3*4*4*4=192种。

2. 本题的难点在于选出三个合适的座位共有多少种方法，位置选出后就是三个人的排列问题。
先考虑位置选取问题：不妨设想九个座位从左到右分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9号座位，三名观众从左到右依次为a、b、c。考虑坐在中间的b，左右都至少有一个空位，将b与左右座位连成一个整体考虑，可以记为B。此时，a在B左侧，与B相邻或隔一位；c在B右侧，与B相邻或隔一位。可以确定b只能在3到7号座位之间，即B不能包含1、9。当b在3或7号上时，a、c中有一个只有一种位置选择，另一个有两种位置可选；当b在4、5或6上时，a、c都有两种位置可选。
故本体三个位置共有C（2选1）*C（1选1）*C(2选1）+C（3选1）*C(2选1）*C（2选1）=16种选法。
再考虑三个人在三个位置上的排列，则共有坐法 A（3选3）*16=96 种。

3.（1）先选出相同的一门课，C（4选1),再从剩下的3门课中选出2门排列，即A（3选2）。
共有C（4选1)*A（3选2）=4*6=24种选法。
（2）至少有1门不相同也就是说恰有一门相同或者两门都不相同，前者（恰有一门相同）也就是（1）的情况；两门都不同时，即4门中有两门其中一个人学，另外的两门另一个人学，故有
C（4选2）*C（2选1）=12种。
本题一共有24+12种选法。

追问

1（1）C(4,2)*(C(4,3)*A(2,2)+C(4,2)*A(2,2))=120
3(2)貌似是30

追答

非常抱歉。两道题我都犯了一个错误。
1.（1）因为恰有两个空盒，可以首先选出两个空盒，C（4选2），共六种组合；再考虑将四个不同小球往另外2个盒里放，因为两个盒子里都得有球，分法有1、3，2、2；
C(4,3)*C(1,1)*A(2,2)+C(4,2)*C(2,2)*A(2,2),其中的A（2,2）可以看作是分出的两组的排列。
所以结果也就是C(4,2)*(C(4,3)*A(2,2)+C(4,2)*A(2,2))=120
希望你能理解。
3.(2)至少有1门不相同也就是说恰有一门相同或者两门都不相同，前者（恰有一门相同）也就是（1）的情况；两门都不同时，即4门中有两门其中一个人学，另外的两门另一个人学，
C（4选2）*C（2,2）=6
总共24+6=30

错误分析：1（1）其中重复的部分的来源：因为我先选了其中一个盒子，又进行全分配。
重复情况如（1，{2,3,4}）（{2,3,4}，1）
所以按我原来的就应该是C（4选2）*C（2选1）*[C(4选1)+C(4选2)]
希望你能但是这种只适合用于分析，解答还是原答案的好。

很多题都可能有类似情况，希望你能吸取对自己有用的经验。

追问

抱歉，1（1）还是没懂，您能把“C(4,2)*(C(4,3)*A(2,2)+C(4,2)*A(2,2))=120 ”中的各个项都说下什么意思吗，非常感谢

Answer 2

我看了一下第一题的题量就不小。
首先，盒子不同，球也不同，所以算出来的种类至少不下于几十种。
四个球，放入两个盒子：1,3分有四种，2,2分有3钟。盒子4选2，3种。1选一个，4种情况，3再选，3种情况；共12种。 2,2组也是一样，12种。一共24种。
1号不放在一号盒，那么一号有2，3,4三种选择，其他的球，有4种选择。一共3*4*4*4=192种

吃饭去了，，回来再看