Question

高中数学平面几何

已知圆内接四边形ABCD中，AB=2，BC=6，AD=CD=4 （1）连接BD，设BD=y，∠A=a，请将y表示为
a的函数 （2）求四边形ABCD的面积

Answer 1

解：
（1）∵AB=2，BC=6，AD=CD=4
∴弧BC>弧DC=弧AD>弧AB
∴弧BCD>弧BAD
∴∠BAD>∠BCD
而∠BAD+∠BCD=п
∴п/2<∠BAD <п
即п/2<a<п
在三角形ABD中，由余弦定理
BD²=AB²+AD²-2AB*BD*cos∠A
y²=4+16-16cosa
可得cosa=(20-y²)/16
a=arccos[20-y²)/16] (п/2<a<п)
（2）在三角形ABD和三角形ACD中，由余弦定理
BD²=AB²+AD²-2AB*BD*cos∠A
BD²=CB²+CD²-2CB*CD*cos∠B

y²=4+16-16cosa
y²=36+16-48cos(п-a)

y²=20-16cosa
y²=52+48cosa
两式相减解得cosa=-1/2 (п/2<a<п)
故a=120°
S四边形ABCD
=S三角形ABD+S三角形CBD
=AB*AD*sina/2+CB*CD*sin(п-a)/2
=8√3