Question

求解这道题，要过程

Answer 1

x->0
ln(1+x^2) ~ x^2
xsinx ~ x^2
let
y= x^2

lim(x->0) ( 1+ ln(1+x^2) ^(2/(xsinx))
=lim(x->0) ( 1+ x^2) ^(2/x^2)
=lim(y->0) ( 1+ y) ^(2/y)
=e^2

追问

加减也能用等价无穷小？

追答

也不能完全说不可以，
那是 Taylor's expansion
等价无穷小, 只有Taylor's expansion 的一小部分

f(x)= f(0) +[f'(0)/1!]x+ [f''(0)/1!]x^2 +....
e.g sinx
sinx = x - (1/6)x^3 + (1/120)x^5 +....

等价无穷小, 只取
sinx ~ x

在这个问题
ln(1+x^2) ～ 1 + x^2 + (1/2)x^4 + (1/6)x^6+...
因为 它的次方， 只涉及(2/(xsinx)) ～ 2/x^2
所以只取ln(1+x^2) ～ 1 + x^2 ，就足够

你可用洛比达作， 答案是一样的，但是比较复杂！