Question

已知x，y，z∈R+，且x+y+z=3，求证：x^2/（y^2+z^2+yz）+y^2/(x^2+z^2+zx）+z^2/(x^2+y^2+xy)≥1

用柯西不等式解谢谢！

Answer 1

这个题不错，比较巧。
首先有均值不等式有yz≤(y^2+z^2)/2，zx≤(z^2+x^2)/2，xy≤(x^2+y^2)/2
所以，x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(z^2+x^2+zx)+z^2/(x^2+y^2+xy)≥2[x^2/(y^2+z^2)+y^2/(z^2+x^2)+z^2/(x^2+y^2)]/3
分析可知x^2/(y^2+z^2)=(x^2+y^2+z^2)/(y^2+z^2)-1，同理y^2/(z^2+x^2)=(x^2+y^2+z^2)/(z^2+x^2)-1，z^2/(x^2+y^2)=(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2)-1
代入上面不等式右端化简有：
x^2/(y^2+z^2+yz)+y^2/(z^2+x^2+zx)+z^2/(x^2+y^2+xy)
≥2{(x^2+y^2+z^2)[1/(y^2+z^2)+1/(z^2+x^2)+1/(x^2+y^2)]-3}/3
=[(y^2+z^2)+(z^2+x^2)+(x^2+y^2)]*[1/(y^2+z^2)+1/(z^2+x^2)+1/(x^2+y^2)]/3-2
≥(1+1+1)^2/3-2=9/3-2=1
当且仅当x=y=z=1时取“=”，得证。

本题既用了均值，又用了构造，还用了柯西（这都是最后一步了），此命题比较容易放缩过量，不能一来就找柯西。感觉有点儿像高中数学竞赛题。如果要弄竞赛的话，建议看看Schur不等式，那个很是王道，大学本科都不要求的，但对于高中数学竞赛专治各种不服，CMO都适用。