Question

求证：有两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等。

Answer 1

如图AB=A‘B’，AC=A‘C’，AD和A‘D’分别为三角形ABC和A‘B’C‘的中线，且AD=A’D‘，证明ABC全等A’B‘C‘。

证明：分别过D，D’点作AB，A‘B’的平行线，交AC，A’C‘与E和E’

易知E为AC的中点，E‘为A’C‘的中点，DE=1/2AB，D‘E’=1/2A‘B’，所以DE=D‘E’，又因AE=1/2AC A’E‘=1/2A’C‘，AE=A’E‘，结合AD=A’D‘，所以三角形ADE全等A’D’E‘，因而得角DEA=角D‘E’A‘

因角BAC=180-角DEA ，角B‘A’C‘=180-角D’E‘A’，所以角ABC=角DEA 加上条件AB=A‘B’，AC=A’C‘，所以三角形ABC全等三角形A’B‘C’

Answer 2

证明：

如图设两个三角形分别为△ABC和△A'B'C'，且AB=A'B',BC=B'C',OB=O'B'，且OB,O'B'为中线
延长BO,B'O'到P,P'，使BO=OP,B'O'=O'P'。
则四边形ABCP和A'B'C'P'是平行四边形

∴AB=A'B'，AP=BC=B'C'=A'P'，BP=2OB=2O'B'=P'B'
∴△ABP≌△A'P'B' (SSS)
∴∠ABP=∠A'B'P'

同理可证
△CBP≌△C'P'B' (SSS)
∴∠CBP=∠C'B'P'
∴∠ABC=∠A'B'C'
又∵AB=A'B',BC=B'C'
∴△ABC≌△A'B'C' (SAS)

证毕

图: