Question

已知三直线a,b,c互相平行，且分别与直线l交于A，B，C三点。求证：四条直线a,b,c,l必共面。 要求用高中定理

Answer 1

假设四条直线a,b,c,l不共面
因为a,b互相平行，，所以确定一个面，且分别与直线l相交于A，B。A,B在面内，因为两点确定一直线，所以直线L在面内，因为四条直线a,b,c,l不共面，且三直线a,b,c互相平行，所以直线c必然平行于a,b确定的面，所以直线l与该面无交点。又由题直线l与直线c交于点C，与题矛盾。
所以假设不成立，所以四条直线a,b,c,l必共面

追问

不用反证法，用必修三上的定理证

追答

首先 a与l相交于A点 则a 与l 共面 设为平面H
再证明 b与c都在这个平面H上
b与l相交于B点 即b与平面H相交于B点
又b平行于H面上的直线a 根据定理 可得直线b在平面H上
同理 c也在平面H上
所以a b c l 共面
这种怎么样

追问

b与l相交于B点 即b与平面H相交于B点
又b平行于H面上的直线a 根据定理 可得直线b在平面H上，根据什么定理？务必用书上和3个推广定理

Answer 2

因为a//b，所以a和b共面，又l与a、b相交于A、B两点，所以l在直线a、b确定的平面内，
也就是说a、b、l三直线共面；
同理可证a、c、l三直线共面。
因此四条直线a、b、c、l 共面

Answer 3

因为l交于a于点A，交b于点B。
所以l与a,b所在平面共面。

又因为a//b//c
所以c平行于a,b所在平面
又因为l在平面a,b所在平面上，且l与c交于点C
所以c在a,b所在平面上
所以abcl共面

追问

又因为l在平面a,b所在平面上，且l与c交于点C
为何所以c在a,b所在平面上？务必用基本定理证明

Answer 4

证明：因为a、b、c相互平行，所以ab，bc，ac分别在同一个平面。
又因为，l与ab分别交于AB，所以abl，在同一平面，同理可证bcl在同一平面，acl在同一平面
所以abcl共面。