Question

如图所示,在四边形ABFC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE

（1）试探究，四边形BECF是什么特殊的四边形
（2）当角A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论.

Answer 1

楼上的瞎扯淡。。

∵BC的垂直平分线EF交BC
∴∠FDB=90 BD=DC
∴BE=EC FB=FC
∴∠EBC=∠BCP
∴∠BCA=90
∴∠CBA+∠A=90
∵∠CBA+∠FEB=90 ∴∠FEB=∠A ∴FE‖CA
∴∠A=∠EFC ∵∠BFE=∠EFC ∴∠BFE=∠FEB
∴△BDF≌△BED（AAS）∴FD=DE∴BECF为平行四边形
∵FE⊥BC∴BECF为菱形

Answer 2

解：（1）四边形BECF是菱形．
证明：EF垂直平分BC
∴BF=FC，BE=EC
∴∠ABC=∠BCE
∵∠ACB=90°
∴∠ABC+∠A=90°
∠BCE+∠ACE=90°
∴∠ACE=∠A
∴EC=AE
∴BE=AE
∵CF=AE
∴BE=EC=CF=BF
∴四边形BECF是菱形
（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠BCE=45°，
∴∠EBF=2∠ACE=90°
∴菱形BECF是正方形．

Answer 3

（1）四边形BECF是菱形．
证明：EF垂直平分BC，
∴BF=FC，BE=EC，
∴∠CBE=∠BCE，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBE+∠A=90°，∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠A，
∴EC=AE，
∴BE=AE，
∵CF=AE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形．

（2）当∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠CBE=45°，
∴∠EBF=2∠A=90°，
∴菱形BECF是正方形．

Answer 4

∵BC的垂直平分线EF交BC
∴∠FDB=90 BD=DC
∴BE=EC FB=FC
∴∠EBC=∠BCP
∴∠BCA=90
∴∠CBA+∠A=90
∵∠CBA+∠FEB=90 ∴∠FEB=∠A ∴FE‖CA
∴∠A=∠EFC ∵∠BFE=∠EFC ∴∠BFE=∠FEB
∴△BDF≌△BED（AAS）∴FD=DE∴BECF为平行四边形
∵FE⊥BC∴BECF为菱形

Answer 5

梯形