Question

求一道数学题，请各位帮忙！

走廊里有100盏灯，从1~100编号，开始时全部关闭，有100个学生依次走过，第一个学生将所有开关按一下，第二个学生将是2的倍数的按钮都按了一下，第三个同学将是3的倍数的都按了一下……当100名学生都按过后，走廊里哪些编号的灯是亮的？

Answer 1

高瑜静木子 的答案是对的.

亮灯的编号所对应的自然数一定有奇数个不同的因子.

1，先考察编号只有一个素因子p的情形.
（1）1~100内的素数肯定不行. 因素数有2个不同的因子---1和自己.
（2）素数的偶次幂可以. p^(2n)的不同的因子有p^0, p^1, ...,p^(2n)一共(2n+1)个,奇数个因子.
（3）素数的奇次幂也肯定不行. p^(2n-1)的不同的因子有p^0,p^1,...,p^(2n-1)一共(2n)个, 偶数个因子.

2，再考察编号除素因子p外，还有其他素因子的情形。
记这个编号中不包含p的不同的因子的个数为Q。
（1）编号的素因子分解中，p的幂次为奇数(2n-1)的肯定不行。
p^(2n-1)的不同的因子，也就是p的不同的幂次的个数=2n。
编号的不包含p的任何一个不同的因子，与p的任何一个幂次p^k,（0<=k<=2n-1）的乘积就构成了编号的一个因子。
因此，编号的不同因子的个数=Q*[p的不同的幂次的个数] = Q*2n = 2nQ，为偶数。
（2）编号的素因子分解中，素因子p的幂次只能是偶数。
(3) 亮灯的编号的素因子分解中，所有素因子的幂次都只能是偶数。
3，结论
因此，亮灯的编号只能是平方数。

Answer 2

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100（即1~10每个数的平方数）

Answer 3

最后只剩下平方数了你求一下