高数 微分方程题,求解,谢谢

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晴天摆渡
2018-12-11 · 我用知识搭建高梯,拯救那些挂在高树上的人
晴天摆渡
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等号后面的sinx相当于特征值是i,故需要讨论a是否等1

第10号当铺
2018-12-11 · TA获得超过1.1万个赞
知道大有可为答主
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第一步:求对应的齐次方程的通其特征方程的两个根为±ai (i为虚数)
所以通解为 C1*cosax + C2 *sinax (C1、C2为任意常数)
第二步,求特解,当a≠1时,设其特解形式为Acosbx+Bsinbx
代入方程解得:=[1/(a^2-1)]sinx
所以通解为:y= C1*cosax + C2 *sinax + [1/(a^2-1)]sinx
当a=1时,设特解形式为x(Acosbx+Bsinbx)
代入方程解得:=-0.5xcosx
所以通解为:y= C1*cosax + C2 *sinax - 0.5xcosx
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wjl371116
2018-12-11 · 知道合伙人教育行家
wjl371116
知道合伙人教育行家
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求微分方程 y''+a²y=sinx的通解,(a>0)
解:(一).当a≠1时:
齐次方程 y''+a²y=0的特征方程 r²+a²=0的根:r₁=ai;r₂=-ai;
故齐次方程的通解为:y=c₁cosax+c₂sinax;
设其特解为:y*=Asinx...........①;
y*'=Acosx; y*''=-Asinx...........②;
将①②代入原式得:-Asinx+a²Asinx=(a²-1)Asinx=sinx; 故A=1/(a²-1);
∴特解y*=[1/(a²-1)]sinx; 通解 y=c₁cosax+c₂sinax+[1/(a²-1)]sinx;
(二)。当a=1时,原方程变成y''+y=sinx;
齐次方程 y''+y=0的通解为:y=c₁cosx+c₂sinx;
设其特解为:y*=Axcosx;y*'=Acosx-Axsinx;y*''=-2Asinx-Axcosx; 代入原式得:
-2Asinx-Axcosx+Axcosx=-2Asinx=sinx;故A=-1/2; 于是特解 y*=-(1/2)xcosx;
此时通解为:y=c₁cosx+c₂sinx-(1/2)xcosx;
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