Question

一道几何题求证

如图，A,B,C三点不在一条直线上，分别以AB,BC为边在AC同侧边作等边三角形ABD和等边三角形BCE，AE交BD于点F,DC交BE于点G。求证BF=BG.

Answer 1

题目是错的，证明不了

AE=DC，但BF≠BG．
（1）AE=DC．
∵△ABD和△BCE为等边三角形
∴AB=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠CBE+∠DBE，
即∠ABE=∠CBD，
∴△ABE≌△DBC（边角边）．
∴AE=DC（全等三角形对应边相等），
∠BAE=∠BDC（全等三角形对应角相等）．

（2）BF≠BG．
若BG=BF，
可以得到△ABF≌△DBG（证明略，有点麻烦，要利用高等数学）
∴∠ABF=∠DBG=60°
∵∠ABF=∠DBG=60°=∠CBE，
所以A、B、C在同一条直线上，这与题意A、B、C不在同一直线上矛盾，
∴BF≠BG．

Answer 2

用三角形二次全等
首先证△ABE≌△DBC
从而得出∠EAB＝∠CDB
然后再证△ABF≌△DBG
得证。
这种题目实际是利用正三角形的性质而得来的，一般要用到正三角形三边相等和三角相等，方法肯定是三角形全等。

Answer 3

题目无法证明BF=BG
等边三角形BCE可以B点为轴在ABC的平面内旋转，旋转过程中，当BG垂直于CD时，BG最短；同理BF垂直于AE时，BF最短。BF与BG是变量！

Answer 4

ABE=DBC 所以BF=BG