Question

关于x的方程 (a+2)·x²-2ax+a=0 有两个不相等的实数根

关于x的方程 (a+2)·x² - 2ax + a = 0 有两个不相等的实数根，分别为x1和x2，抛物线 y=x²-(2a+1)x+2a-5 与 x 轴的两个交点分别在点（2，0）的两旁。
（1）求实数a的取值范围
（2）当|X1|+|X2|=2√2 时，求a的值。{过程要用到韦达定理}

Answer 1

根据：两个不相等的实数根，得：a<0且a不等于-2
根据：抛物线 y=x²-(2a+1)x+2a-5 与 x 轴的两个交点分别在点（2，0）的两旁。
得：y=x²-(2a+1)x+2a-5 与 x 轴的两个交点横坐标分别为x1,x2，则(x1-2)(x2-2)<0即：x1x2-2(x1+x2)+4<0,解得：a>-3/2
所以-3/2<a<0
根据a的取值可以判断：关于x的方程 (a+2)·x² - 2ax + a = 0 有两个不相等的实数根异号，|X1|+|X2|=2√2即，|X1-x2|=2√2，(X1-x2)^2=8=(x1+x2)^2-4x1x2,结果自己解决吧

Answer 2

(1) delta=4a^2-4a(a+2)=-8a>0 => a<0
设f(x)=x²-(2a+1)x+2a-5，可知f(2)=4-4a-2+2a-5=-3-2a<0 => a>-3/2
所以-3/2<a<0
(2) a+2>0, X1X2=a/(a+2)<0
(|X1|+|X2|)^2=(X1+X2)^2-2X1X2+2|X1X2|=(X1+X2)^2-4X1X2=(4a^2-4a(a+2))/(a+2)^2
=-8a/(a+2)^2=8 => a=-1或a=-4(舍去)
所以a=-1

Answer 3

解：（1）∵关于x的方程（a+2）x2-2ax+a=0有两个不相等的实数根
∴
a+2≠0△=(-2a)2-4a(a+2)＞0
解得：a＜0，且a≠-2 ①
设抛物线y=x2-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β
∴α、β是关于x的方程x2-（2a+1）x+2a-5=0的两个不相等的实数根
∵△=[-（2a+1）]2-4×1×（2a-5）=（2a-1）2+21＞0
∴a为任意实数②
由根与系数关系得：α+β=2a+1，αβ=2a-5
∵抛物线y=x2-（2a+1）x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁
∴α＜2，β＞2
∴（α-2）（β-2）＜0
∴αβ-2（α+β）+4＜0
∴2a-5-2（2a+1）+4＜0
解得：a＞-
3
2
③
由①、②、③得a的取值范围是-
3
2
＜a＜0；
（2）∵x1和x2是关于x的方程（a+2）x2-2ax+a=0的两个不相等的实数根
∴x1+x2=
2a
a+2
，x1x2=
a
a+2
∵-
3
2
＜a＜0，∴a+2＞0
∴x1x2=
a
a+2
＜0不妨设x1＞0，x2＜0
∴|x1|+|x2|=x1-x2=2
2
∴x12-2x1x2+x22=8，即（x1+x2）2-4x1x2=8
∴（
2a
a+2
）2-
4a
a+2
=8
解这个方程，得：a1=-4，a2=-1（16分）
经检验，a1=-4，a2=-1都是方程（
2a
a+2
）2-
4a
a+2
=8的根
∵a=-4＞-
3
2
，舍去
∴a=-1为所求．

Answer 4

如图