Question

已知点a(-1,0),b(1,2),c(1,c)

已知点A（-1,0）；B（1,0）；C（0,1）,直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是
（A）（0,1）(B)（1-根号2/2,1/2）( C)（1-根号2/2,1/3）(D)[ 1/3,1/2）

Answer 1

首先,分成三种情况讨论

1、y=ax+b和x轴交点在A时,容易得b=1/3；因为此时以AB为底边,高只能为oc的一半,所以y=ax+b与BC直线（x+y=1）交于（1/2,1/2）点,A（-1,0）,所以b=1/3；
2、当y=ax+b和x轴交点在A与（0,0）点之间时,不妨设为（x0,0）点,x0=-b/a；又知y=ax+b与BC线段交于（x1,y1）点,x1=（1-b）/（1+a）,y1=（a+b）/（1+a）
ABC面积=1,所以分割后的三角形面积=1/2=（1/2）*（1-x0）*y1
所以（a+b）平方=a*(1+a)；即a=b*b/（1-2b）大于0,所以b小于1/2；
3、当y=ax+b和x轴交点在A点左侧时,明显b不能超过1/3；但也不能趋于0；
选B
如果展开第三点讨论,设y=ax+b与直线CA的延长线交（x2,y2）点,与BC交（x3,y3）点
得x2=（1-b）/（1+a）,x3=（1-b）/（1+a）,
面积=1/2=（1/2）*（1-b）*（x3-x2）
所以,(1-b)(1-b)=(1-a*a)/2,a大于零,所以b大于1-根号2/2.

办法二、本题为选择题,解出b=1/3时,迅速排除CD,A几乎不可能趋于0,排除；选B