Question

在三角形ABC中,AB=AC,EF交AB于E,交BC于D,交AC的延长线于F,且BE=CF,试说明:DE=DF

Answer 1

这题有多种证法。
证法一：
过E作EG∥BC交AC于G，得：AB/BE＝AC/CG，而AB＝AC，∴BE＝CG，
又BE＝CF，∴CG＝CF。
∵EG∥BC，CG＝CF，∴DE＝DF。
证法二：
过E作EH∥AC交BC于H，得：AB/BE＝AC/EH，而AB＝AC，∴BE＝EH，∴△DEH≌△DFC
∴DE＝DF。
证法三：
过F作FI∥BA交BC的延长线于I，得：∠B＝I。
∵AB＝AC，∴∠B＝ACB＝∠FCI，
∴∠I＝∠FCI，∴CF＝IF。而BE＝CF，∴BE＝IF，∴△BDE≌△IDF，∴DE＝DF。
证法四：
分别过E、F作BC的垂线，令垂足分别为J、K。
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠FCK，又BE＝CF，∴Rt△BEJ≌Rt△CFK，∴EJ＝FK。
∵EJ＝FK，∠EDJ＝FDK，∴Rt△DEJ≌Rt△DFK，∴DE＝DF。
证法五：
过F作FL∥CB交AB的延长线于L，得：AB/BL＝AC/CF，而AB＝AC，∴BL＝CF，
又BE＝CF，∴BE＝BL，∴DE＝DF。
证法六：
分别作△BDE和△DFC的外接圆，令圆心分别是M、N。
∵BE＝CF，∠BDE＝∠CDF，∴⊙M、⊙N是等圆。
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，而∠ACB与∠DCF互补，∴∠ABC与∠DCF互补，
∴DE＝DF。［等圆中，互补的圆周角所对的弦相等］
证法七：
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴sin∠ABC＝sin∠ACB＝Sin（180°－∠ACD）＝sin∠DCF。
由正弦定理，有：BE/sin∠BDE＝DE/sin∠ABC，　CF/sin∠CDF＝DF/sin∠DCF
显然有：∠BDE＝∠CDF，∴DE＝DF。
证法八：
在证法三中得到BE＝IF后，结合BE∥FI，得：BFIE是平行四边形，
得：DE＝DF。 ［平行四边形对角线互相平分］

Answer 2

作线段EH∥BC，交BC于H点
∵AB=AC，∠B=∠ACB =∠AEH=∠AHE,
∴AE=AH
∴BE=HC根据BE= CF
∴HC=CF
又∵EH∥DC
∴ED/DF=HC/CF
所以DE=DF

Answer 3

作线段EH∥BC，交BC于H点
∵AB=AC，∠B=∠ACB =∠AEH=∠AHE,
∴AE=AH
∴BE=HC根据BE= CF
∴HC=CF
又∵EH∥DC
∴ED/DF=HC/CF
所以DE=DF

Answer 4

没图啊

Answer 5

。。。。。。 没读明白啊 没办了 EF窜不穿过C啊 太乱了 不化图是不行的