Question

已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,满足sinB+sinCsinA=...

已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,满足sinB+sinCsinA=2-cosB-cosCcosA,函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,2π3]上单调递减. (Ⅰ)证明:b+c=2a; (Ⅱ)若f(π9)=cosA,证明:△ABC为等边三角形.

Answer 1

(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵
sinB+sinC
sinA
=
2-cosB-cosC
cosA
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA
=2sinAsin(A+B)+sin(A+C)
=2sinA…(3分)
sinC+sinB=2sinA…(5分)
所以b+c=2a…(6分)
(Ⅱ)由题意知:由题意知:
2π
ω
=
4π
3
,解得:ω=
3
2
,…(8分)
因为f(
π
9
)=sin
π
6
=
1
2
=cosA,A∈(0,π),所以A=
π
3
…(9分)
由余弦定理知:cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
…(10分)
所以b2+c2-a2=bc因为b+c=2a,所以b2+c2-(
b+c
2
)2=bc,
即:b2+c2-2bc=0所以b=c…(11分)
又A=
π
3
,所以△ABC为等边三角形.…(12分)