Question

ln[x+根号下（1+x^2）的取值是大于0还是小于0？

能具体解释下吗？

Answer 1

|x|
=
(x^2)^(1/2)
<
(1
+
x^2)^(1/2)
所以，
总有
-(1
+
x^2)^(1/2)
<
x
<
(1
+
x^2)^(1/2)
0
<
x
+
(1
+
x^2)^(1/2).
ln[x
+
(1
+
x^2)^(1/2)]的定义域是整个实域。
若
ln[x
+
(1
+
x^2)^(1/2)]
>
0,
则，
x
+
(1
+
x^2)^(1/2)
>
1,
(1
+
x^2)^(1/2)
>
1
-
x.
所以，当
x
>=
1时，总有
(1
+
x^2)^(1/2)
>
0
>
1
-
x
ln[x
+
(1
+
x^2)^(1/2)]
>
0.
当
x
<
1时，1
-
x
>
0.
1
+
x^2
>
1
+
x^2
-
2x,
x
>
0.
所以当0
<
x
<
1时，ln[x
+
(1
+
x^2)^(1/2)]
>
0.
综合，有
0
<
x
时，ln[x
+
(1
+
x^2)^(1/2)]
>
0
若
ln[x
+
(1
+
x^2)^(1/2)]
<
0,
则，
x
+
(1
+
x^2)^(1/2)
<
1,
(1
+
x^2)^(1/2)
<
1
-
x.
所以，x
<
1
1
+
x^2
<
1
+
x^2
-
2x,
x
<
0.
所以当
0
>
x
时，ln[x
+
(1
+
x^2)^(1/2)]
<
0.
x
=
0时，ln[x
+
(1
+
x^2)^(1/2)]
=
ln1
=
0.
这样，结论是
0
<
x
时，ln[x
+
(1
+
x^2)^(1/2)]
>
0
0
>
x
时，ln[x
+
(1
+
x^2)^(1/2)]
<
0
0
=
x
时，ln[x
+
(1
+
x^2)^(1/2)]
=
0

Answer 2

f(x)=√(x²-x+1)-√(x²+x+1)
x∈r
f'(x)=(x²-x+1)'/2√(x²-x+1)-(x²+x+1)'/2√(x²+x+1)
=(2x-1)/2√(x²-x+1)-(2x+1)/2√(x²+x+1)
=[(2x-1)√(x²+x+1)-√(x²-x+1)(2x+1)]/2√(x²-x+1)√(x²+x+1)
分母>0
当x≥½时 (2x-1)≥0
(2x+1)>0
分子=√(2x-1)²(x²+x+1)-√(2x+1)²(x²-x+1)
=√(4x²-4x+1)(x²+x+1)-√(4x²+4x+1)(x²-x+1)
=√(4x⁴+x²-3x+1)-√(4x⁴+x²+3x+1)
由于(4x⁴+x²-3x+1)<(4x⁴+x²+3x+1)→√(4x⁴+x²-3x+1)<√(4x⁴+x²+3x+1)→f'(x)<0
当x≤-½时 (2x-1)<0 (2x+1)≤0
分子=-√(2x-1)²(x²+x+1)+√(2x+1)²(x²-x+1)
=-√(4x⁴+x²-3x+1)+√(4x⁴+x²+3x+1)
由于(4x⁴+x²-3x+1)>(4x⁴+x²+3x+1)→√(4x⁴+x²-3x+1)>√(4x⁴+x²+3x+1)→f'(x)<0
-½
0→分子<0→f'(x)<0
导数小于0,函数为减函数。