Question

设函数f(x)=-1/3x^3+2ax^2-3a^2x+1(0<a<1),g(x)=f'(x).

1)求函数f(x)的极大值
2）若x∈[1-a,1+a]时，恒有-a≤g(x)≤a成立，是确定实数a的取值范围。

Answer 1

解：1）求导可得g(x)=f'(x)= -x^2+4ax (0<a<1)
令f'(x)=0,得x=0或x=4a
所以x=0或x=4a是f(x)的极值点，f(0)=1,f(4a)=(32/3)*a^3+1>f(0)
所以其极大值为f(4a))=(32/3)*a^3+1
2) 联立1)中所述：
g(x)=-x^2+4ax (0<a<1)
g（x）是开口向下的二次函数,其对称轴x=2a
由于g(2a)=4*a^2 , g(0)=0=g(4a),
0<1-a<1+a,所以x∈[1-a,1+a],时分两种情况：
1.若1-a<2a,即4a>1+a,a>1/3
g(1+a)>0,g(1-a)>0
0<g(x)<=g(2a)
要满足恒有-a≤g(x)≤a成立
只须：a>=g(2a)=4*a^2,即a<=1/4与上矛盾。
2,若1-a>=2a,即4a<=1+a
g(1+a)=<g(x)<=g(1-a)
只须：
g(1+a)>=-a,g(1-a)<=a
综上解得：
a∈[(-3+根号21)/6,(5-根号5)/10]

Answer 2

解：（Ⅰ）f′（x）=-x2+4ax-3a2，且0＜a＜1，（1分）
当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；
当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；
f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）
故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=-x2+4ax-3a2=-（x-2a）2+a2，
ⅰ）当2a≤1-a时，即0＜a≤
1
3
时，f′（x）在区间[1-a，1+a]内单调递减．
∴[f′（x）]max=f′（1-a）=-8a2+6a-1，[f′（x）]min=f′（1+a）=2a-1．
∵-a≤f′（x）≤a，∴
-8a2+6a-1≤a2a-1≥-a
∴
a∈Ra≥13
∴a≥
1
3
．
此时，a=
1
3
．（9分）
ⅱ）当2a＞1-a，且2a＜a+1时，即
1
3
＜a＜1，[f′（x）]max=f′（2a）=a2．
∵-a≤f′（x）≤a，∴
f′(1+a)≥-af′(1-a)≥-af′(2a)≤a
即
2a-1≥-a-8a2+6a-1≥-aa2≤a
∴
a≥137-1716≤a≤7+17160≤a≤1.
∴
1
3
≤a≤
7+17
16
．
此时，
1
3
＜a≤
7+17
16
．（12分）
ⅲ）当2a≥1+a时，得a≥1与已知0＜a＜1矛盾．（13分）
综上所述，实数a的取值范围为[
1
3
，
7+17
16 ]．（14分）