Question

谁帮我做做这道高数题啊?设函数f（x）在R内连续且｛F（x）=（x-2t）f（x...

谁帮我做做这道高数题啊? 设函数f（x）在R内连续且｛F（x）=（x-2t）f（x）dt的从0到x的积分｝证明： （1）、若f（x）为偶函数,则F（x）也为偶函数. （2）、当x>0时,若f（x）单增,则F（x）单减. 由于F（x）那个积分打不出来所以用语言叙述了一下,

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

(1)已知f(-x)=f(x)
F(x)=∫(0～x)(x-2t)f(t)dt
F(-x)=∫(0～-x)(-x-2t)f(t)dt=∫(0～x)(x+2t)f(t)dt
令u=-t,dt=-du,F(-x)=∫(0～x)(x-2u)f(-u)d(-u)=∫(0～x)(x-2u)f(u)du
所以F(x)=F(-x)
所以F(x)是偶函数
(2)F'(x)＝∫(0～x)
f(t)dt＋xf(x)－2xf(x)＝∫(0～x)
f(t)dt－xf(x)
F'(0)＝0
F''(x)＝－xf'(x)
当x＞0时,f(x)单调增加,则f'(x)>0,
所以x＞0时,F''(x)