Question

条件概率

为了防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效率分别为0.92和0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求：
（1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率;
(2)B失灵的条件下，A有效的概率

Answer 1

不懂不要误人子弟好不好？题目明显是条件概率，A、B不是独立的，P（AB）=P（A）P（B），或者P（A，~B) = P(A) P(~B) 都是不成立的。

以A表示A有效，~A表示A无效，B类似。则由题意和Bayes Theorem（贝叶斯定理）
P(A)=P(A|B)P(B) + P(A|~B)P(~B) = 0.92
P(B)=P(B|A)P(A) + P(B|~A)P(~A) = 0.93

（1）显然，P(~A)=1-P(A) = 0.08,
而在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，即 P(B|~A) = 0.85。
所以，P(~B|~A) =1-P(B|~A) = 1- 0.85 = 0.15
所以，A、B同时失灵的概率为：P(~A，~B)=P(~B|~A)P(~A) =0.15*0.08 = 0.012，
所以，发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率为： 1 - P(~A，~B)= 1-0.012 =0.988

（0.1724，0.144 明显都是错的，A或B单独使用都有0.9以上的效率，两个一起用反而在0.2以下？两位学的是火星逻辑和统计吧。。。）

（2）B失灵的条件下，A有效的概率即为P(A|~B)
首先，以P(B|~A) = 0.85，P(~A)=0.08代入
P(B)=P(B|A)P(A) + P(B|~A)P(~A) = 0.93
可得：P(B|A)P(A)=0.93-0.85*0.08=0.862
其次，注意 P(A,B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)=0.862
这样，把P(A|B)P(B)=0.862，P(~B)=0.07代入
P(A)=P(A|B)P(B) + P(A|~B)P(~B) = 0.92
有：0.862 + P(A|~B) * 0.07=0.92，
所以，P(A|~B)=(0.92-0.862)/0.07 = 0.8286,
即B失灵的条件下，A有效的概率为0.8286 。

Answer 2

A1为A有效，A2为A无效；B1为B有效，B2为B无效，则p(A1)=0.92,P(B1)=0.93
发生意外时，两个警报系统至少有一个有效的概率为1-p（A1B1）=1-p(A1)*p(B1)=0.144
第二问为p(A1/B2)=p(A1B2)/p(B2)=p(A1)*p(B2/A1)/p(B2)(贝叶斯公式)

追问

第二问还是不会

Answer 3

(1) P=0.92*0.07+0.08*0.85=0.1724
0.92*0.07是A有效B无效，0.08*0.85是A 无效B有效
（2）我暂时还不会，我在考虑考虑，然后继续回答！

追问

第一题中那你A有效B有效不是0.93*0.08？

追答

哦 对不起啊 前面那个错了 我又想了一下
至少有一个有效的反面是都无效，所以P=1-0.08*0.07=0.9944,0.08是A无效的概率，0.07是B无效的概率。这个应该是对了。你再想想！

Answer 4

(1) 当我们遇到 至少一个时 我们应用他的对立 一个也不存在 p(-a,-b)=p(-a|-b)p(-a)=0.012 所以P=1-0.012=0.988
（2）P（a|-b)=p(a-b)p(-b)

Answer 5

设寿命超过三十年为事件A，超了30年将在10年内损坏为事件B
P(A)=0.8
P(B)=1-0.5=0.5
P（B|A）=P(AB)/P(A)=0.3/0.8
PAB是AB同时发生的意思.