Question

求以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程.

这题的答案是ρ=2cos(θ-1),提示是说转化为直角坐标系求解,可是我很久未做参数的题了,一时忘了该怎么做,麻烦大家帮帮忙详细解释一下~~~谢谢!!!

Answer 1

这里的坐标，前一个是极径为1，后一个是极角为1弧度。要是转化成直角坐标系，那是一种锻炼；直接在极坐标系里处理，那倒是十分简单的。但是，三角形的余弦定理要用到。

为了具有普遍性，我把题目中的圆半径改为r。定圆圆心的极半径1改为m。极角1改为a。

所谓极坐标方程，是含有两个变量p与d(我没有使用希腊字母“肉五，司依塔”，就用英语的p与的表示了。不至于混淆，您可以看懂的）的一个等量关系式。建立了它们的关系，就可以交卷。

诚然，中学乃至大学里，都不认真研究极坐标方程的周期问题，这一点，我们也在此忽略它。说了半天，书归正传。

见附图。

在三角形OCK中，m与r与a都是定值。只有圆上的动点K在变，它的极角d与极径p就随之而变。

用余弦定理可得：

KC方=OK方加上OC方，再减去二倍的OK乘以OC乘以角KOC的余弦。即

r^2=p^2+m^2-2*p*m*cos(d-a)。 完啦。这是极坐标系里的圆的方程的公式！它就是这么来的呀。

至于您的题目，把数字一改，就得。

假如您只是为了就题论题，那太容易。你自己画一个图：您的圆圈恰恰过极点O，半圆的圆周角是直角，直径为2，OK就等于直径乘以（d-1）的余弦。又做完啦。

Answer 2

极坐标系的解法见LS，对高中生来说不太好理解。
直角坐标系的解法如下：
两个坐标系的转化方程为 x=rcosθ, y=rsinθ 牢记这一点就可以。
那么转成直角坐标系，
圆心是 (cos1,sin1)，半径是1。
圆的方程是 (x-cos1)^2+(y-sin1)^2=1
再转回极坐标系，
圆的方程是 (ρcosθ-cos1)^2+(ρsinθ-sin1)^2=1
展开化简，注意用积化和差公式，可得ρ=2cos(θ-1)