Question

求方程（X^7－1)/(X－1)=y^5－1的所有整数解。

方程左边（X-1）是分母，X≠1，求求那些X=1，Y=1的兄弟别浪费脑细胞了
这是IMO的预选题

Answer 1

方程无整数解
证明如下：
若方程有解（x,y），设素数p满足p│（（x^7-1)/(x-1)), 所以p│(x^7-1),所以（p,x）=1,所以x^(p-1)≡1(mod p),若7不能整除（p-1）,则（7，p-1）=1,由裴蜀定理，存在s,t，使（p-1)s+7t=1,所以x=x^((p-1)s+7t)≡1（mod p）,所以x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1≡7（mod p）,所以p│7,所以p=7，综上，p=7或p≡1(mod 7).
所以（x^7-1）/(x-1)≡0或1（mod 7）,所以y-1≡0或1（mod 7）,若y-1=0(mod 7),y^4+y^3+y^2+y+1≡5(mod 7),与前面的分析矛盾；y-1≡1(mod 7),y^4+y^3+y^2+y+1≡3(mod 7),也与前面的分析相矛盾，所以方程无整数解。
证明完毕。

Answer 2

(x^7-1)/(x-1)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=y^5-1=(y-1)(y^4+y^3+y^2+y+1)
y^5=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+2
左边=五阶y多项式, 右边=6阶x多项式, 无整数解

Answer 3

找有答案的那期报纸，或者拿上课本上学去。再不行上清华去求解释。

Answer 4

设定左边等于右边即可满足题意
左边=0;
右边=0;
即:
(X^7-1)/(x-1)=0 //此步可以省略X-1,即分母,分子变成X^6 后面省略,不大重要,我想你知道怎么取得最简式子
y^5-1=0 //此步直接解得y=1
最终解得:X=1,Y=1

Answer 5

X^7-1=(X-1)(X^6+X^5+X^4+X^3+X^2+X+1)
(X^7-1)/(X-1)=上课去了。。。回来再做

Answer 6

我宁愿去睡觉,也没兴趣解这题,蛋疼