Question

1~9九个数字，每组3个，可以分多少组？怎么计算的？

Answer 1

本题是组合问题。
C9(3)=9×8×7/3×2×1=84组，可以分成84组。

Answer 2

这是：排列(Permutation)和组合(Combination)的基本概念和两个基本公式。

"排列"的最直观意义，就是给定n个"可区别"(Distinguishable，亦作"相异")的物件，现把这n个物件的全部或部分排次序，"排列"问题就是求不同排列方式的总数。为了区别这些物件，我们可不妨给每个物件一个编号：1、2 ... n，因此"排列"问题实际等同於求把数字1、2 ... n的全部或部分排次序的方式总数。"排列"问题可分为"全排列"和"部分排列"两种，当我们把给定的n个数字1、2 ... n全部排次序，求有多少种排法时，就是"全排列"问题。我们可以把排序过程分解为n个程序：第一个程序决定排於第一位的数字，第二个程序决定排於第二位的数字...第n个程序决定排於第n位的数字。在进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n − 1个，因此有n − 1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n − 2个，因此有n − 2种选法。如是者直至第n个程序，这时可供选择的数字只剩下1个，因此只有1种选择。由於以上各程序是"各自独立"的，我们可以运用"乘法原理"求得答案为n × (n − 1) × (n − 2) × ... 2 × 1。在数学上把上式简记为n!，读作"n阶乘"(n-factorial)。

例如：1至3这3个数字进行"全排列"，共有多少种排法？试列出所有排法。

答1：共有3! = 3 × 2 × 1 = 6种排法，这6种排法为1-2-3；1-3-2；2-1-3；2-3-1；3-1-2；3-2-1

当然，给定n个数字，我们不一定非要把全部n个数字排序不可，我们也可只抽取部分数字(例如r个，r < n)来排序，并求有多少种排法，这样的问题就是'部分排列'问题。我们可以把'部分排列'问题理解成抽东西的问题。设在某袋中有n个球，每个球都标了编号1、2 ... n。现从袋中抽r个球出来(抽出来之後不得再放回袋中)，并把球上的数字按被抽出来的顺序记下，这r个数字的序列实际便等同於一个排序。'部分排列'问题的解答跟'全排列'问题非常相似，只不过现在我们是把排序过程分解为r个而非n个步骤。进行第一个程序时，有n个数字可供选择，因此有n种选法。在进行第二个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n − 1个，因此有n − 1种选法。在进行第三个程序时，由於在前一程序已选定了一个数字，现在可供选择的数字只剩下n − 2个，因此有n − 2种选法。如是者直至第r个程序，这时可供选择的数字只剩下n − r + 1个，因此只有n − r + 1种选择。最後，运用'乘法原理'求得答案为n × (n − 1) × (n − 2) × ... (n − r + 1)。

我们可以把上式改写为更简的形式n! / (n − r)!，为甚麼可以这样改写？这要用到n!的定义和乘法的结合律。举一个简单的例子，由於5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × (4 × 3 × 2 × 1) = 5 × 4!。同样由於5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4 × (3 × 2 × 1)，我们又可得5! = 5 × 4 × 3!。抽象地看，我们可以把n!改写为n × (n − 1)!，也可以改写为n × (n − 1) × (n − 2)!照此类推，我们可以把n!改写为n × (n − 1) × (n − 2) × ... (n − r + 1) × (n − r)!。由此得n! / (n − r)! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... (n − r + 1)。在'点算组合学'上，一般把上述'部分排列'的解记为P(n, r)。至此我们求得'排列'问题的一条基本公式：

P(n, r) = n! / (n − r)!

所以1至9这9个数排列组合，用"部分排列"，则会是：9 × 8 × 7  / 3× 2 × 1= 504/6，一共84种排法。

Answer 3

解:可以分C9(3)组，c9(3)=9X8X7/3Ⅹ2ⅹ1=84组