Question

一条直线可以将一个长方形分成两块，两条直线最多能将一个长方形分成4块，那麽六条呢？8条呢？

思考过程也要！！

Answer 1

把长方形概念扩展一下就是一个平面，问题变为n条直线可将平面划分为几部分；

很明显所有直线都两两相交划分的部分最多。
对于第n条直线，与巳存在的n-1条直线有n-1个交点，自己被分为n段（2条射线和n-2条线段）；
每一段把所在的原来的部分分为2部分，增加一个部分，共增加n个部分；

于是n条直线可分平面为：
1+1+2+3+4+......+n=1+n(n+1)/2

4条直线可分11块,6条直线可分22块,8条直线可分37块

追问

还是不明白！！！！

追答

把长方形概念扩展一下就是一个平面，问题变为n条直线可将平面划分为几部分；

很明显所有直线都两两相交划分的部分最多。 (:如果有平行线，划分的就少)

对于第n条直线（最后一条），与已存在的n-1条直线有n-1个交点（与前面每条直线都有一个交点），自己被分为n段（2条射线和n-2条线段，直线的两端是射线，是线段）；
每一段把所在的原来的部分（已经存在的平面区域块）分为2部分（平面区域块），新增加一个部分（平面区域块），共增加n个部分（平面区域块）；

(0条直线，平面是 1块
1条直线，增加的块数是 1块， 总数是1+1=2
2条直线，增加的块数是 2块（第二条直线本身被分为2段）， 总数是(1+1)+2=4
第3条直线，增加的块数是 3块（该直线本身被分为3段）， 总数是[(1+1)+2]+3=7
第4条直线，增加的块数是 4块（该直线本身被分为4段）， 总数是[(1+1)+2]+3+4=11
第5条直线，增加的块数是 5块（该直线本身被分为5段）， 总数是[(1+1)+2]+3+4+5=16
第6条直线，增加的块数是 6块（该直线本身被分为6段）， 总数是[(1+1)+2]+3+4+5+6=22
第7条直线，增加的块数是 7块（该直线本身被分为7段）， 总数是[(1+1)+2]+3+4+5++6+7=29
第8条直线，增加的块数是 8块（该直线本身被分为8段）， 总数是[(1+1)+2]+3+4+5+6+7+8=37
第9条直线，增加的块数是 9块（该直线本身被分为9段）， 总数是[(1+1)+2]+3+4+5+6+7+8+9=46
…………
)

于是n条直线可分平面为：
1+1+2+3+4+......+n=1+n(n+1)/2

4条直线可分11块,6条直线可分22块,8条直线可分37块

追问

于是n条直线可分平面为：
1+1+2+3+4+......+n=1+n(n+1)/2
为什末除2

追答

1+2+……+n=n(n+1)/2

1+2+……+n=(1/2)(1+2+……+n+1+2+……+n)=(1/2)[(1+n)+(2+n-1)+……(n-1+2)+(n+1)]=n(n+1)/2

追问

是一个公式吗？？

追答

是