Question

求函数f(x)=1/x^n的n阶导数式

Answer 1

f(x) = x^(-n)
f'(x)= (-n)x^(-n-1)
f''(x) = n(n+1)x^(-n-2)
f^(n)(x)
=(-1)^n. [(2n)!/n!] x^(-2n)

追问

不对啊1/x³的3阶导数是-60/x^6,但是如果用公式算的话却得-120/x^6

追答

不好意思应该

f(x) = x^(-n)
f'(x)= (-n)x^(-n-1)
f''(x) = n(n+1)x^(-n-2)
f^(n)(x)
=(-1)^n. [(2n-1)!/(n-1)!] x^(-2n)

追问

好的谢谢

想请问一下[(2n-1)!/(n-1)!]如何得来的

追答

f^(n)(x)
=(-1)^n. [n(n+1)...(2n-1)]
=(-1)^n. [(n-1)! n(n+1)...(2n-1)/(n-1)! ]
=(-1)^n. [(2n-1)!/(n-1)! ]

追问

为什么 (n-1)! n(n+1)...(2n-1) = (2n-1)!

追答

f'(x)= (-n)x^(-n-1)
f''(x) = n(n+1)x^(-n-2)
f'''(x) =-n(n+1)(n+2)x^(-n-3)
一直做下去
f^(n)(x) =(-1)^n .n(n+1)(n+2)....[n+ (n-1)] x^(-n-n)
=(-1)^n .n(n+1)(n+2)....(2n-1)x^(-2n)

追问

可以可以明白了明白了谢谢您的教导