Question

当x∈（-1，3）时不等式的x 2 +ax-2＜0恒成立，则a的取值范围是______．

Answer 1

法一：①当x=0时，不等式的x 2 +ax-2＜0化为-2＜0，对于∀a∈R恒成立；
②当0＜x＜3时，不等式的x 2 +ax-2＜0化为 a＜ 2- x 2 x ，
令f（x）= 2- x 2 x = 2 x -x ，则 f ′ (x)=- 2 x 2 -1 ＜0，∴f（x）在区间（0，3）上单调递减，∴f（x）＞f（3）= 2- 3 2 3 =- 7 3 ，由不等式的x 2 +ax-2＜0恒成立⇔a＜[f（x）] min ，∴ a≤- 7 3 ；
③当x∈（-1，0）时，不等式的x 2 +ax-2＜0化为 a＞ 2- x 2 x ，类比②可得：a≥-1．
综上可知：a的取值范围是∅．
法二：当x∈（-1，3）时不等式的x 2 +ax-2＜0恒成立⇔ f(-1)≤0 f(3)≤0 ，此不等式组的解集是∅．
故答案为：∅．