Question

已知函数y1=x,y2=(1/2)x^2+1/2

已知函数y1=x,y2=(1/2)x^2+1/2
①说明对于自变量x的同一个值，均有y1≤y2成立。函数
②是否存在二次函数y3=ax2+bx+c同时满足下列两个条件
a、当x=-1时，函数值y3=0
b、对于任意的实数x的同一个值，均有y1≤y3≤y2成立，若存在，求出满足条件的函数y3的解析式，若不存在，请说明理由
请给出详解，谢谢

Answer 1

1、y2-y1=(x-1)²/2≥0故y1≤y2恒成立
2、设存在这样的二次函数满足这两个条件，那么有：a-b+c=0
又y1(x=1)=y2(x=1)=1
所以y3(x=1)=1,于是有：a+b+c=1，所以a+c=1/2,b=1/2
因为y1≤y3≤y2恒成立，那么有0<a<1/2,(y2-y3和y3-y1的二次项系数都为正数)
y3-y1=ax²-x/2+c，其判别式不大于0，于是有1/4-4ac≤0,即ac≥1/16
而由a+c=1/2,0<a<1/2知c为正数，1/2=a+c≥2(ac)^(1/2)≥1/2，当且仅当a=c=1/4时能取到等号
故当y3=x²/4+x/2+1/4时满足条件，即为所求函数y3解析式。