Question

已知正四面体的棱长为a，求它的内外接球的体积？要具体过程！！谢谢~最好把怎么找球心写出来！

Answer 1

设正四面体P-ABC，作高PH，交底面ABC于H，则H是正三角形ABC的外心，（重心），
连结AH，交BC于D，
AB=BC=AC= a,
AD=√3a/2,
根据重心的性质，AH=2AD/3=√3a/3,
根据勾股定理，
PH^2=AP^2-AH^2,
PH=√6a/3,
在平面PAH上，作PA的垂直平分线OM，交PH于O点，M是AP上中点，则O点就是外接球和内切球的球心，
△PMO∽△PHA，
PM*PA=PO*PH，
(a/2)*a=PO*√6a/3,
PO=√6a/4,
∴外接球半径R=√6a/4。
分别连结OA、OB、OC、
则正四面体分成4个小棱锥，
每个棱锥高是内切球半径r,
设每个正三角形面积为S，
S*PH/3=4S*r/3,
r=PH/4=(√6a/3)/4=√6a/12.
∴内切球半径为√6a/12.
外接球体积V1=4πR^3/3=√6πa^3/8,
内切球体积V2=4πr^3/3=√6πa^3/216.