Question

如图,在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为正方形,且PD垂直平面ABCD,PD=AB=1,E.F分别是PB，AD的中点。

1.证明：EF垂直平面PBC。2.求二面角B-FC-E的大小

Answer 1

1.取PC中点H，连接DH、HE，易见DH⊥PC，DH⊥BC，∴DH⊥面PBC

∵HE∥BC，HE=BC/2，∴HE∥DF，HE=DF，故EF∥DH，∴EF⊥面PBC

2.连接AC、BD，设二者交于O

连接EO，显然EO∥PD，∴EO⊥面ABCD，从而EO⊥FC

在△EFC中作EG⊥FC于G，连接OG，则FC⊥面EGO，故∠EGO为二面角B-FC-E的平面角

在△DCF中可得FC=√5/2，在Rt△PBC中可得斜边上的中线EC=√3/2，而EF=HD=√2/2

于是在Rt△EFC中可得EG=√(3/10)，而EO=PD/2=1/2

故在 Rt △EGO中可得OG=√(1/20)，∴二面角B-FC-E=arctan√5

Answer 2

1、AD中点是G，PD中点是H，连接GF,GH,HE，在四边形GHEF中可证明其是平行四边形（EH平行且等于GF）则可得EF//GH,又因为GH在平面PDA中，EF在平面PDA外，可证明EF//平面PDA!
第二题 ，时间久了 我都忘了有哪些证明方法与条件，抱歉了。但思路我认为：证明GH垂直面PDC即可，可以证明GH垂直HE（GF=HE垂直面PDA,即垂直面内任意一条线，即GF=HE垂直GH）,再找出GH垂直面PDC内 其它一条与HE相交的线 就可以得证！
想了想，作CD的中点Q，连接EQ，很容易证EQ垂直GH,
则 GH垂直EQ GH垂直HE HE相交EQ与点E，HE和EQ在平面PDC内，得证EF⊥平面PDC! OK!

Answer 3

画出图，
连接FP、FB，
△FBP中，FP=√(PD²+FD²)=√(1²+0.5²)，
FB=√(AB²+FA²)=√(1²+0.5²)，
所以△FBP是等腰三角形，FE为底边中线，所以FE为底边高线，
得到FE⊥PB （1）
∵PD⊥面ABCD，E是PB的中点，显然点E在面ABCD内的正投影为线段BD中点，设为O点
得到EO⊥面ABCD，有EO⊥BC （2）
连接FO，在正方形ABCD内，可以发现FO//AB，得到FO⊥BC （3）
由（2）（3）得到BC⊥面EOF，得到BC⊥EF （4）
有（1）(4)得到EF⊥面PBC

求二面角B-FC-E的大小：
∵EO⊥面ABCD，即EO⊥面BCF，
∴作OMEO⊥CF于M，连接EM，则∠EMO的大小就是二面角B-FC-E的大小
直角△EOM中，∠EOM=90°，EO=1/2，
OM=FO*sin(∠MFO)=1/2*sin(∠DCF)=1/2*（1/√5）=√5/10，
所以tan(∠EMO)=EO/OM=(1/2) / (√5/10)=√5
所求二面角B-FC-E的大小为arctan√5