Question

如图，在平行四边形ABCD中，M,N为边BC,DC的中点，AN=1，AM=2，且∠MAN=60°，求AB的长

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Answer 1

延长DC和AM交于E
∵ABCD为平行四边形
∴ABIICE
∴∠BAM=∠MEC ∠ABM=∠ECM
∵M为BC的中点
∴AM=ME
∴△ABM≌△ECM
∴AB=CD=CE AM=EM=2
∵N为边DC的中点
∴NE=3NC=(3/2)AB 即AB=(2/3)NE
∵AN=1，AE=2AM=4，且∠MAN=60°
∴由余弦定理EN^2=AE^2+AN^2-2AE*ANcos60°=16+1-2*4*(1/2)=13
∴EN=√13
∴AB=(2/3)√13

Answer 2

延长AM，与DC延长线交于P，
PC//AB，
CM=BM，
《CMP=〈BMA，（对顶角相等 ），
〈PCM=〈ABM，（内错角相等），
△CMP≌△BMA，
PC=AB，
DN=CN，
NP=3AB/2，
AP=2AM=4，
在三角形ANP中，根据余弦定理，
NP^2=AN^2+AP^2-2*AN*AP*cos<NAP=1+16-2*1*4*cos60°，
NP=√13，
AB=2NP/3=2√13/3.
若未学余弦定理，
可作NH⊥AM，
则《ANH=30度，
AH=AN/2=1/2，
用勾股定理，
NH=√3/2，
MH=3/2，
MN=√3，
根据勾股定理逆定理，〈ANM=90度，
延长NM交AB延长线于Q，
△NCM≌△QBM，
BQ=NC=AB/2，
AQ=3AB/2，
AQ^2=AN^2+NQ^2,
NQ=2MN=2√3,
AQ=√13,
AB=2AQ/3=2√13/3.

Answer 3

延长NM交AB的延长线于E。
∵AN＝1，AM＝2，∠MAN＝60°，而cos60°＝1/2，∴∠MAN＝AN/AM，∴∠ANM＝90°。
由勾股定理或锐角三角函数定义，容易算出：MN＝√3。
在△CMN和△BME中，CM＝BM，NC∥BE，
∴△CMN≌△BME，∴MN＝ME＝√3，且CN＝BE＝CD/2＝AB/2。
∴AE^2＝AN^2＋EN^2＝1＋（MN＋ME）^2＝1＋（√3＋√3）^2＝1＋4×3＝13
∴AE＝√13，∴AB＋BE＝√13，即：AB＋AB/2＝√13，∴AB＝2√13/3。